Em matemática a Matriz Hessiana de uma função de n variáveis é a matriz quadrada n X n das derivada segunda parcial da função.

Dada uma função real de n variáveis reais

se todas as derivadas de f forem contínuas, a matriz hessiana é definida por matrice hessiana della f la matrice , dove

O termo Hessiano foi denominado por James Joseph Silvester, em homenagem ao matemático alemão Ludwig Otto Hesse, que foi usado como termo para determinantes funcionais. Matrizes Hessianas saõ usadas em larga escala por em problemas de otimização que não usa métodos Newtonianos.

As derivadas mistas de f na diagonal não-principal da matriz hessiana. Assumindo que elas são contínuas, a ordem de diferenciação não importa (pelo teorema de Schwartz) , por exemplo:

questa uguaglianza si scrive anche come:

In termini formali: se le derivate seconde di f sono tutte continue in una regione , allora lhessiana di f è una matrice simmetrica in ogni punto di ; vedi simmetria delle derivate seconde. La veridicità di questa affermazione è dovuta al Teorema di Schwartz.

Se il gradiente della funzione f è nullo in un punto x appartenente al dominio della funzione, allora f in x ha un punto critico. Il determinante dellhessiana in x è anche detto discriminante in x. Se questo determinante è zero allora x è chiamato punto critico degenere della f. Negli altri punti viene chiamato non degenere.

Il seguente criterio può essere applicato in un punto critico non degenere x:

Altrimenti il test è inconclusivo. Nota che per hessiane semidefinite positive e semidefinite negative il test è inconclusivo. Quindi, possiamo vedere di più dal punto di vista della teoria di Morse.

Tenuto conto di quanto è stato appena detto, il test per le derivate seconde per funzioni di una e due variabili sono semplici. In una variabile, lhessiana contiene appena una derivata seconda:

In due variabili, può essere usato il discriminante, perché il determinante è il prodotto degli autovalori:

Se f è invece una funzione a valori vettoriali, cioè se

allora il vettore delle derivate parziali seconde non è una matrice, ma un tensore di rango 3.